4.1几何图形
4.1.1立体图形与平面图形
一.相关概念
1. 几何图形中,各部分不都在同一平面内的称为立体图形,比如棱柱(帐篷、茶叶盒)和棱锥(金字塔)。
2. 几何图形中,各部分都在同一平面内的称为平面图形。
二.立体图形与平面图形的联系
立体图形中某些部分是平面图形,例如长方体的侧面是长方形。因此,常把立体图形转化为平面图形来研究和处理。
1. 从不同角度看立体图形,即横看成岭侧成峰。人教版课本118页练习1。
2. 将立体图形展开成平面图形,即展开图。人教版课本118页练习2、3。
4.1.2点、线、面、体
一.相关概念
1. 体:即几何体的简称。
2. 面:包围着体的是面,面分为平面和曲面。
3. 线:即面和面相交的地方,比如长方体有6个面(均为平面),12条棱(线)(均为直线)。而圆柱侧面和底面相交得到的圆是曲的。
4. 点:即线和线相交的地方。
二.联系
1. 点动成线:比如笔尖在纸上运动。
2. 线动成面:比如汽车雨刷在挡风玻璃上画出的扇面。
3. 面动成体:比如长方形硬纸片绕一边旋转形成的圆柱体。
4.2直线、射线、线段
一.总体概念
1. 经过两点有一条直线,且只有一条直线。即两点确定一条直线。
2. 直线的表示方式:可以用小写字母表示(比如直线l)or用一条直线上的两点来表示(比如直线AB)。
3. 一个点在直线上,即该直线经过这个点;一个点不在直线上,即该直线不经过这个点。
4. 当两条不同的直线有一个公共点时,即称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点。
5. 射线和线段都是直线的一部分。
二.比较长短
1. 用无刻度的直尺和圆规作图,即为尺规作图。
2. 如何比较两条线段的长短?
(1)法一:用刻度尺分别测量出它们的长度;
(2)法二:将其中一条线段移到另一条上进行比较。
3. 点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点。类似地,还有线段的三等分点、四等分点等。
三.法则
1. 两点的所有连线中,线段最短。即两点之间,线段最短。
2. 连接两点间线段的长度,叫做这两点的距离。
PS:延长线段AB是指从端点A到B的方向延长;延长线段BA是指按从端点B到A的方向延长,也可以说反向延长线段AB。
4.3角
4.3.1角
一.相关概念
1. 认识:角是一种基本的几何图形,比如钟面上的时针与分针,三角尺两条相交的边线。
2. 概念:
(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
(2)该公共端点就是角的顶点。
(3)这两条射线是角的两条边。
二.角的表示方式,∠AOC或∠O
不可以把∠α记作∠O,因为∠O=∠AOC,而∠α=∠AOB,所以∠α还可以用∠AOB表示。
三.角的度量单位-角度制:度、分、秒
1. 把一个周角360等分,每一份叫做1度的角,记作1°。
2. 把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,记作1′。
3. 把1分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1″。
四.经典例题
6点整,钟表的时针和分针构成多少度的角?8点呢?8点半呢?
(1)6点整,钟表的时针和分针构成180度的角.
(2)8点整,钟表的时针和分针构成120(30*(12-8))度的角.
(3)8点半,钟表的时针和分针构成75(30*2.5)度的角.
4.3.2角的比较与运算
一.角的比较-如何比较两个角的大小
1. 法一:使用量角器量出角的度数;
法二:把它们的一条边叠合在一起,通过观察另外一条边的位置来比较角的大小。
二·角的运算
图中共有3个角。它们之间的关系为:
∠AOC=∠AOB+∠BOC;
∠AOB=∠AOC-∠BOC;
∠BOC=∠AOC-∠AOB。
三.角的平分线
若上图中∠AOB=∠BOC,则射线OB把∠AOC分成了两个相同的角。
一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线。类似地,还有角的三等分线。
4.3.3余角和补角
一.相关概念
1. 若两个角的和等于90°(直角),则这两个角互为余角(简称这两个角互余)。即其中一个角是另一个角的余角。
2. 若两个角的和等于180°(平角),则这两个角互为补角(简称这两个角互补)。即其中一个角是另一个角的补角。
二.相关结论
1. 思考:∠1与∠2,∠1与∠3都互为补角,则∠2与∠3有什么关系?
∠2=180°-∠1;∠3=180°-∠1。推出:∠2=∠3。
得出结论:同角(等角)的补角相等。
同理,同角(等角)的余角相等。
2. 多边形的外角和均为360°。
①以三角形为例,如下图(1)中,
因为三角形的内角和已知为180°,即(180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)=180°,
即540°-(∠1+∠2+∠3)=180°,∠1+∠2+∠3=360°。
得出结论:无论是怎样的三角形,与每个内角相邻的三个外角的和均为360°。
②以四边形为例,如上图(2)中,
因为四边形的内角和已知为360°,即(180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+(180°-∠4)=360°,
即720°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=360°,∠1+∠2+∠3+∠4=360°。
得出结论:无论是怎样的四边形,与每个内角相邻的四个外角的和均为360°。
三.易错习题
1. 如下图,点A、O、B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中哪些角互为余角?
解:因为点A、O、B在同一条直线上,得出∠AOB=180°,则1/2∠AOB=90°。
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,
1/2∠AOB=1/2(∠BOC+∠COD)=∠BOE+∠COD=∠BOE+∠AOD=∠COE+∠COD=∠AOD+∠COE=90°
所以∠BOE与∠COD,∠BOE与∠AOD,∠COE与∠COD,∠AOD与∠COE均互为余角。
PS:只要两个角相加等于90°,即互为余角,不用在图中相邻。
2. 将一个周角平分22等份,每个夹角是多少度?(精确到分)
解:360°/22=16(4/11)°≈16°22′
3. 如下图,将一副三角尺按不同位置摆放,在哪种摆放方式中∠α与∠β互余?在哪种摆放方式中∠α与∠β互补?在哪种摆放方式中∠α与∠β相等?
解:
(1)中,∠α+∠β+90°=180°,即∠α+∠β=90°,即∠α与∠β互余。
(2)中,设∠α与∠β之间的角为x,则∠α+x=90°且∠β+x=90°,即∠α=∠β=90°-x,即∠α与∠β相等。
(3)中,∠α=180°-45°=135°且∠β=180°-45°=135°,即∠α与∠β相等。
(4)中,∠α+∠β=180°,即∠α与∠β互补。
4. 如下图,在四边形ABCD内找一点O,使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小,并说明理由。
①连接AC,BD,相交于O,则点O到A,B,C,D四个顶点的距离之和最小。
②理由:在四边形内任找一点E(E≠O),AC=OA+OC,BD=OB+OD
因为两点之间线段最小,所以AC<EA+EC,BD<EB+ED
所以OA+OB+OC+OD<EA+EC+EB+ED,即点O到A,B,C,D四个顶点的距离之和最小。
5.
答案:A
因为两点之间线段最短,所以排除B、C;
又因为点C在底面圆周上,所以D错误。