panda 4.1几何图形
4.1.1立体图形与平面图形
一．相关概念
1. 几何图形中，各部分不都在同一平面内的称为立体图形，比如棱柱（帐篷、茶叶盒）和棱锥（金字塔）。
2. 几何图形中，各部分都在同一平面内的称为平面图形。
二．立体图形与平面图形的联系
立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形。因此，常把立体图形转化为平面图形来研究和处理。
1. 从不同角度看立体图形，即横看成岭侧成峰。人教版课本118页练习1。
2. 将立体图形展开成平面图形，即展开图。人教版课本118页练习2、3。
4.1.2点、线、面、体
一．相关概念
1. 体：即几何体的简称。
2. 面：包围着体的是面，面分为平面和曲面。
3. 线：即面和面相交的地方，比如长方体有6个面（均为平面），12条棱（线）（均为直线）。而圆柱侧面和底面相交得到的圆是曲的。
4. 点：即线和线相交的地方。
二．联系
1. 点动成线：比如笔尖在纸上运动。
2. 线动成面：比如汽车雨刷在挡风玻璃上画出的扇面。
3. 面动成体：比如长方形硬纸片绕一边旋转形成的圆柱体。
4.2直线、射线、线段
一．总体概念
1. 经过两点有一条直线，且只有一条直线。即两点确定一条直线。
2. 直线的表示方式：可以用小写字母表示（比如直线l）or用一条直线上的两点来表示（比如直线AB）。
3. 一个点在直线上，即该直线经过这个点；一个点不在直线上，即该直线不经过这个点。
4. 当两条不同的直线有一个公共点时，即称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
5. 射线和线段都是直线的一部分。
二．比较长短
1. 用无刻度的直尺和圆规作图，即为尺规作图。
2. 如何比较两条线段的长短？
（1）法一：用刻度尺分别测量出它们的长度；
（2）法二：将其中一条线段移到另一条上进行比较。
3. 点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。
三．法则
1. 两点的所有连线中，线段最短。即两点之间，线段最短。
2. 连接两点间线段的长度，叫做这两点的距离。
PS：延长线段AB是指从端点A到B的方向延长；延长线段BA是指按从端点B到A的方向延长，也可以说反向延长线段AB。
4.3角
4.3.1角
一．相关概念
1. 认识：角是一种基本的几何图形，比如钟面上的时针与分针，三角尺两条相交的边线。
2. 概念：
（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
（2）该公共端点就是角的顶点。
（3）这两条射线是角的两条边。
二．角的表示方式，∠AOC或∠O
不可以把∠α记作∠O，因为∠O=∠AOC，而∠α=∠AOB，所以∠α还可以用∠AOB表示。
三．角的度量单位-角度制：度、分、秒
1. 把一个周角360等分，每一份叫做1度的角，记作1°。
2. 把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′。
3. 把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
四．经典例题
6点整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8点呢？8点半呢？
（1）6点整，钟表的时针和分针构成180度的角.
（2）8点整，钟表的时针和分针构成120（30*（12-8））度的角.
（3）8点半，钟表的时针和分针构成75（30*2.5）度的角.
4.3.2角的比较与运算
一．角的比较-如何比较两个角的大小
1. 法一：使用量角器量出角的度数；
法二：把它们的一条边叠合在一起，通过观察另外一条边的位置来比较角的大小。
二·角的运算
图中共有3个角。它们之间的关系为：
∠AOC=∠AOB+∠BOC;
∠AOB=∠AOC-∠BOC;
∠BOC=∠AOC-∠AOB。
三．角的平分线
若上图中∠AOB=∠BOC，则射线OB把∠AOC分成了两个相同的角。
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。类似地，还有角的三等分线。
4.3.3余角和补角
一．相关概念
1. 若两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角（简称这两个角互余）。即其中一个角是另一个角的余角。
2. 若两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角（简称这两个角互补）。即其中一个角是另一个角的补角。
二．相关结论
1. 思考：∠1与∠2，∠1与∠3都互为补角，则∠2与∠3有什么关系？
∠2=180°-∠1；∠3=180°-∠1。推出：∠2=∠3。
得出结论：同角（等角）的补角相等。
同理，同角（等角）的余角相等。
2. 多边形的外角和均为360°。
①以三角形为例，如下图（1）中，
因为三角形的内角和已知为180°，即（180°-∠1）+（180°-∠2）+（180°-∠3）=180°，
即540°-（∠1+∠2+∠3）=180°，∠1+∠2+∠3=360°。
得出结论：无论是怎样的三角形，与每个内角相邻的三个外角的和均为360°。
②以四边形为例，如上图（2）中，
因为四边形的内角和已知为360°，即（180°-∠1）+（180°-∠2）+（180°-∠3）+（180°-∠4）=360°，
即720°-（∠1+∠2+∠3+∠4）=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=360°。
得出结论：无论是怎样的四边形，与每个内角相邻的四个外角的和均为360°。
三．易错习题
1. 如下图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A、O、B在同一条直线上，得出∠AOB=180°，则1/2∠AOB=90°。
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
1/2∠AOB=1/2(∠BOC+∠COD)=∠BOE+∠COD=∠BOE+∠AOD=∠COE+∠COD=∠AOD+∠COE=90°
所以∠BOE与∠COD，∠BOE与∠AOD，∠COE与∠COD，∠AOD与∠COE均互为余角。
PS：只要两个角相加等于90°，即互为余角，不用在图中相邻。
2. 将一个周角平分22等份，每个夹角是多少度？（精确到分）
解：360°/22=16（4/11）°≈16°22′
3. 如下图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？
解：
（1）中，∠α+∠β+90°=180°，即∠α+∠β=90°，即∠α与∠β互余。
（2）中，设∠α与∠β之间的角为x，则∠α+x=90°且∠β+x=90°，即∠α=∠β=90°-x，即∠α与∠β相等。
（3）中，∠α=180°-45°=135°且∠β=180°-45°=135°，即∠α与∠β相等。
（4）中，∠α+∠β=180°，即∠α与∠β互补。
4. 如下图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小，并说明理由。
①连接AC,BD，相交于O，则点O到A，B，C，D四个顶点的距离之和最小。
②理由：在四边形内任找一点E（E≠O），AC=OA+OC,BD=OB+OD
因为两点之间线段最小，所以AC<EA+EC,BD<EB+ED
所以OA+OB+OC+OD<EA+EC+EB+ED，即点O到A，B，C，D四个顶点的距离之和最小。
5.
答案：A
因为两点之间线段最短，所以排除B、C；
又因为点C在底面圆周上，所以D错误。
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用户评论
这个总结超级棒！我数学成绩本来一直不太理想，看了之后就感觉几何更容易理解了，比课本讲得还清晰！
有20位网友表示赞同！
刚开始学习第四章的时候感觉难度有点大，还好有这篇笔记整理，把重点知识都提炼出来了，这下轻松多了！
有18位网友表示赞同！
还是我的七年级数学，真的太难啦！希望下学期好好跟着这篇文章复习一下，争取早点过考试。
有16位网友表示赞同！
公式太多记不牢啊！感觉这篇笔记虽然有用，但是要把所有的内容都掌握还需要花不少时间学习和练习。希望还有其他补充资料可以帮我更好地理解那些概念.
有18位网友表示赞同！
总结很全面了，把我想知道的知识点都提出来了！以前总是觉得几何图形好难懂，现在看着反而很有趣了，感觉要重新打开这门功课的兴趣!
有6位网友表示赞同！
这篇笔记对理解第四章的重点还是很有帮助的，我觉得老师上课的时候也应该参考一下这份整理总结，这样上课就能更清晰地传授知识了。
有9位网友表示赞同！
我特别喜欢你提出的几何图形的概念解释，比书本里说的简单易懂很多。对于刚接触几何图形的我来说，这篇文章真是太棒了！
有10位网友表示赞同！
我觉得这篇笔记的深度不够，缺少一些具体的讲解和练习题，仅仅把知识点概括出来并不是很详细。希望作者能加入更多实际应用实例来帮助我们更好地理解这些知识。
有11位网友表示赞同！
这个总结真不错！感觉学习效率一下子提高了很多！终于明白为什么老师总是强调几何图形的重要性了，这门课很有用!
有13位网友表示赞同！
还好看到这篇笔记，让我避免了在考试的时候因为对第七几何图形体系不够了解而掉分！
有18位网友表示赞同！
虽然总结很详细，但是对于我这种完全没有学习过相关知识的同学来说，还是有点难以理解。希望能有更多针对基础薄弱学生的讲解和训练案例。
有16位网友表示赞同！
感觉这个总结太局限了，只列举了基本概念，却忽略了一些更深层次的数学原理。期待作者能深入浅出地解释一些几何图形的相关应用性和思考方法。
有9位网友表示赞同！
我记得当时做第四章考试的时候简直要崩溃，好 Luckily 现在有了这份笔记可以回顾一下！关键知识点都总结得很精巧，帮助我重新掌握了那些概念!
有11位网友表示赞同！
总感觉这篇文章缺少一些图表和图形的辅助，这样能更直观地理解几何图形的概念。希望作者能够在未来的更新中加入更多视觉元素。
有17位网友表示赞同！
很感谢作者分享这份整理！对于学习数学有困难的学生来说，这是一个非常宝贵的资源。希望今後も能够得到这样的帮助!
有12位网友表示赞同！
我之前一直觉得几何图形枯燥乏味，但看完这篇笔记后感觉有点不一样了，原来那些公式背后都是一些奇妙的逻辑和规律！
有12位网友表示赞同！